Das Setzen und Verwalten eines Cookies hat nichts mit der Verbindung zu tun, das ist rein browserbasiert. Ob ihr also abwechselnd per WLAN, lokalem Kabelnetzwerk oder über eine mobile Datenverbindung zugreift, ist völlig egal. Wichtig ist, dass der Browser Cookies von *.adventure-treff.de nicht löscht und ihr ein persistentes Cookie setzt (über das Häkchen beim Login). Bei regelmäßigen Logouts würde ich mal die Browsereinstellungen und insbesondere auch verwendete Addons prüfen.
Das Forum setzt Cookies mit einer Gültigkeit von einem Jahr. Im Rahmen des Forenupdates sind allerdings alle Cookies ungültig geworden, weil sich die entsprechende ID geändert hat. Das war aber eine einmalige Sache.
Firefox hat ja keinen Offline-Cache mehr, so wie früher.
Natürlich hat Firefox, wie jeder andere gängige Browser, einen Offlinecache (außer du hat diesen bewusst deaktiviert - darüber haben wir vor ein paar Seiten ja schon gesprochen). Sonst müssten ja bei jeder neuen Sitzung alle statischen Elemente von Webseiten, die du häufig besuchst, erneut heruntergeladen werden, was ziemlich unperformant wäre. Bei mir im Firefox verbirgt sich diese Einstellung unter Einstellungen -> Erweitert -> Netzwerk -> "Zwischengespeicherte Webinhalte" und "Offline Webinhalte und -Benutzerdaten". Da kann man sehen, wie viele Daten gerade gecached werden, man kann die maximale Größe Festelegen und den Cache auch ganz deaktivieren. Im Normalfall sollte man den Cache aktiv machen, Webseiten teilen dem Browser ja auch aktiv mit, welche Elemente besser nicht gecached werden sollten.